Divisibilité par 24 - Corrigé

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(5\) .

1. a. Justifier que \(p\) n'est pas congru à \(0\) modulo \(3\) .
    b. Montrer que \(p^2-1\) est divisible par \(3\) .

2. a. Justifier qu'il existe un entier \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(p^2-1=4k(k+1)\) .
    b. En déduire que \(p^2-1\) est divisible par \(8\) .

3. Démontrer que \(p^2-1\) est divisible par \(24\) .

Solution

1. a. Si \(p\) était congru à \(0\) modulo \(3\) , alors \(p\) serait divisible par \(3\) et comme \(p\) est premier, on aurait \(p=3\) : c'est impossible, car \(p \geqslant 5\) .

    b. D'après la question 1.a, \(p\) n'est pas congru à \(0\) modulo \(3\) . On a donc deux alternatives :

• ou bien \(p \equiv 1 \ [3]\) , et alors \(p^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \ [3]\) , donc \(p^2-1 \equiv 0 \ [3]\) ;
• ou bien \(p \equiv 2 \ [3]\) , et alors \(p^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \ [3]\) , donc \(p^2-1 \equiv 0 \ [3]\) .

Dans les deux cas, on a bien \(p^2-1 \equiv 0 \ [3]\) , autrement dit \(p^2-1\) est divisible par \(3\) .

2. a. Comme \(p\) est un nombre premier supérieur ou égal à \(5\) , \(p\) est un entier impair. 
Ainsi, il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(p=2k+1\) . On en déduit que
\(\begin{align*}p^2-1& = (2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1)\end{align*}\) .

    b. D'après la question 2.a, on peut écrire \(p^2-1=4k(k+1)\) avec \(k \in \mathbb{N}\) . Or \(k(k+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc ce produit est pair et peut s'écrire \(k(k+1)=2k'\) avec \(k' \in \mathbb{N}\) .
On a donc \(p^2-1=4k(k+1)=4 \times 2k'=8k'\) et ainsi, \(p^2-1\) est divisible par \(8\) .

3. D'après les questions 1.b et 2.b, l'entier \(p^2-1\) est divisible par \(3\) et par \(8\) .
Comme \(3\) et \(8\) sont premiers entre eux, on en déduit, d'après le corollaire du théorème de Gauss, que \(p^2-1\) est divisible par \(3 \times 8=24\) .